SISTEM BILANGAN

SISTEM BILANGAN

Sistem bilangan adalah kode atau simbol yang digunakan untuk menerangkan sejumlah hal secara detail. Sistem bilangan adalah bahasa yang berisi satu set pesan simbul-simbul yang berupa angka dengan batasan untuk operasi aritmatika penjumlahan, perkalian dan yang lainnya. Pada sistem bilangan terdapat bilangan integer dan bilangan pecahan dengan titik radix “.”.

(N) r = [ (bagian integer . bagian pecahan) r)

Titik radix

2.1. Sistem Bilangan Biner

Sistem bilangan biner adalah suatu sistem atau cara menghitung bilangan dengan hanya menggunakan dua simbol angka yaitu ‘0’ dan ‘1’, bilangan ini sering disebut dengan sistem bilangan berbasis atau radix 2 .Sistem bilangan biner digunakan untuk mempresentasikan alat yang mempunyai dua keadaan operasi yang dapat dioperasikan dalam dua keadaan ekstrim. Contoh switch dalam keadaan terbuka atau tertutup, lampu pijar dalam keadaan terang atau gelap, dioda dalam keadaan menghantar atau tidak menghantar, transistor dalam keadaan cut off atau saturasi, fotosel dalam keadaan terang atau gelap, thermostat dalam keadaan terbuka atau tertutup, Pita magnetik dalam keadaan magnet atau demagnet.

2.2. Sistem Bilangan Desimal.

Sistem bilangan desimal adalah suatu sistem atau cara menghitung bilangan dengan menggunakan sepuluh simbol angka yaitu ‘0’ ,‘1’, ‘2’,’3’,’4’,’5’,’6’,’7’,’8’ dan ‘9’ bilangan ini sering disebut dengan sistem bilangan berbasis atau radix 10. Sistem bilangan desimal kurang cocok digunakan untuk sistem digital karena sangat sulit merancang pesawat elektronik yang dapat bekerja dengan 10 level (tiap-tiap level menyatakan karakter desimal mulai 0 sampai 9)

Sistem bilangan desimal adalah positional-value system,dimana nilai dari suatu digit tergantung dari posisinya. Nilai yang terdapat pada kolom ketiga pada Tabel 2.1., yaitu A, disebut satuan, kolom kedua yaitu B disebut puluhan, C disebut ratusan, dan seterusnya. Kolom A, B, C menunjukkan kenaikan pada eksponen dengan basis 10 yaitu 10⁰ = 1, 10¹ = 10, 10² = 100. Dengan cara yang sama, setiap kolom pada sistem bilangan biner yang berbasis 2, menunjukkan eksponen dengan basis 2, yaitu 2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2²= 4, dan seterusnya.

Kolom decimal			Kolom biner
C 10²= 100 (ratusan)	B 10¹= 10 (puluhan)	A 10⁰= 1 (satuan)	C 2²= 4 (empatan)	B 2¹= 2 (duaan)	A 2⁰= 1 (satuan)

Tabel 2.1. Nilai Bilangan Desimal dan Biner

Setiap digit biner disebut bit; bit paling kanan disebut least significant bit (LSB), dan bit paling kiri disebut most significant bit (MSB).

Untuk membedakan bilangan pada sistem yang berbeda digunakan subskrip. Sebagai contoh 9₁₀menyatakan bilangan sembilan pada sistem bilangan desimal, dan 01101₂ menunjukkan 01101 pada sistembilangan biner. Subskrip tersebut sering diabaikan jika sistem bilangan yang dipakai sudah jelas.

2.3. Sistem Bilangan Oktal.

Sistem bilangan oktal adalah suatu sistem atau cara menghitung bilangan dengan menggunakan delapan simbol angka yaitu ‘0’ ,‘1’, ‘2’,’3’,’4’,’5’,’6’,dan ’7’ bilangan ini sering disebut dengan sistem bilangan berbasis atau radix 8. Sistem bilangan oktal digunakan sebagai alternatif untuk menyederhanakan sistem pengkodean biner. Karena 8 = 2³, maka satu (1) digit oktal dapat mewakili tiga (3) digit biner.

2.4. Sistem Bilangan Heksadesimal.

Sistem bilangan heksadesimal adalah suatu sistem atau cara menghitung bilangan dengan menggunakan 16 simbol yaitu ‘0’ ,‘1’, ‘2’,’3’,’4’,’5’,’6’,’7’,’8’,’9’,

’A’,’B’, ’C’,’D’,’E’, dan ‘F’ bilangan ini sering disebut dengan sistem bilangan berbasis atau radix 16. Identik dengan sistem bilangan oktal, sistem bilangan heksadesimal juga digunakan untuk alternatif penyederhanaan sistem pengkodean biner. Karena 16 = 2⁴, maka satu (1) digit heksadesimal dapat mewakili empat (4) digit biner.

2.5. Konversi Bilangan

2.5.1. Konversi bilangan desimal ke biner.

Cara untuk mengubah bilangan desimal ke biner adalah dengan membagi bilangan desimal yang akan diubah, secara berturut-turut dengan pembagi 2, dengan memperhatikan sisa pembagiannya. Sisa pembagian akan bernilai 0 atau 1, yang akan membentuk bilangan biner dengan sisa yang terakhir menunjukkan MSBnya. Sebagai contoh, untuk mengubah 52₁₀ menjadi bilangan biner, diperlukan langkah-langkah berikut :

52/2 = 26 sisa 0, LSB

26/2 = 13 sisa 0

13/2 = 6 sisa 1

6/2 = 3 sisa 0

3/2 = 1 sisa 1

½ = 0 sisa 1, MSB

Sehingga bilangan desimal 52₁₀ dapat diubah menjadi bilangan biner 110100₂.

Cara di atas juga bisa digunakan untuk mengubah sistem bilangan yang lain, yaitu oktal atau heksadesimal.

Desimal	Biner
Desimal	C (MSB) (4)	B (2)	A (LSB) (1)
0 1 2 3 4 5 6 7	0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1

Tabel 2.2. Daftar Bilangan Desimal dan Bilangan Biner Ekivalensinya

2.5.2. Konversi bilangan desimal ke oktal.

Teknik pembagian yang berurutan dapat digunakan untuk mengubah bilangan desimal menjadi bilangan oktal. Bilangan desimal yang akan diubah secara berturut-turut dibagi dengan 8 dan sisa pembagiannya harus selalu dicatat. Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan 5819₁₀ ke oktal, langkah-langkahnya adalah :

5819/8 = 727, sisa 3, LSB

727/8 = 90, sisa 7

90/8 = 11, sisa 2

11/8 = 1, sisa 3

1/8 = 0, sisa 1, MSB

Sehingga 5819₁₀ = 13273₈

2.5.3. Konversi bilangan desimal ke heksadesimal.

Teknik pembagian yang berurutan dapat juga digunakan untuk mengubah bilangan desimal menjadi bilangan heksadesimal. Bilangan desimal yang akan diubah secara berturut-turut dibagi dengan 16 dan sisa pembagiannya harus selalu dicatat. Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan 3408₁₀ menjadi bilangan heksadesimal, dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

3409/16 = 213, sisa 1₁₀ = 1₁₆, LSB

213/16 = 13, sisa 5₁₀ = 5₁₆

13/16 = 0, sisa 13₁₀ = D₁₆, MSB

Sehingga, 3409₁₀ = D51₁₆.

2.5.4. Konversi bilangan biner ke desimal.

Seperti yang terlihat pada tabel 2.1. sistem bilangan biner adalah suatu sistem posisional dimana tiap-tiap digit (bit) biner mempunyai bobot tertentu berdasarkan atas posisinya terhadap titik biner seperti yang ditunjukkan pada tabel 2.3.

2⁴

2³

2²

2¹

2⁰

2^-1

2^-2

2^-3

Bobot tiap-tiap bit biner

Titik biner

0.5

0.25

0.125

Ekivalensinya dalam desimal

Titik desimal

Tabel 2.3. Daftar Bobot tiap bit Bilangan Biner dan Ekivalensinya dalam desimal

Oleh karena itu bilangan biner dapat dikonversikan ke bilangan desimal dengan cara menjumlahkan bobot dari masing-masing posisinya yang bernilai 1.

Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan biner 110011₂menjadi bilangan desimal dapat dilakukan sebagai berikut:

1 1 0 0 1 1 Biner

2⁵+ 2⁴+ 2¹+ 2⁰

32 + 16 + 2 + 1 = 51 Desimal

Sehingga bilangan biner 110011₂ berubah menjadi bilangan desimal 51_10.

Tabel 2.4. adalah contoh perubahan beberapa bilangan biner menjadi bilangan desimal.

Biner	Kolom biner						Desimal
Biner	32	16	8	4	2	1	Desimal
1110 1011 11001 10111 110011	- - - - 1	- - 1 1 1	1 1 1 0 0	1 0 0 1 0	1 1 0 1 1	0 1 1 1 1	8 + 4 + 2 + 0 =14 8 + 0 + 2 + 1 =11 16+ 8 + 0 + 0 + 1 =25 16+ 0 + 4 + 2 + 1 =23 32+16+ 0 + 0 + 2 + 1 = 51

Tabel 2.4. Contoh Pengubahan Bilangan Biner menjadi Desimal

Cara lain untuk mengkonversikan bilangan biner menjadi bilangan desimal dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan angka 2 dengan pangkat koefisien biner yang berharga 1. Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan 10111₂menjadi bilangan desimal, dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

10111₂ = 1x 2⁴+ 0x 2³+ 1x 2²+ 1x 2¹+ 1x 2⁰= 23₁₀

2.5.5. Konversi bilangan biner ke oktal.

Konversi dari bilangan biner ke bilangan oktal dilakukan dengan mengelompokkan setiap tiga digit biner dimulai dari digit paling kanan(LSB). Kemudian, setiap kelompok diubah secara terpisah ke dalam bilangan oktal.

Sebagai contoh, bilangan 11110011001₂ dapat dikelompokkan menjadi: 11 110 011 001, sehingga:

11₂ = 3₈, MSB

110₂ = 6₈

011₂ = 3₈

001₂ = 1₈, LSB

Jadi, bilangan biner 11110011001₂ apabila diubah menjadi bilangan oktal = 3631₈.

2.5.6. Konversi bilangan biner ke heksadesimal.

Bilangan biner dapat diubah menjadi bilangan heksadesimal dengan cara mengelompokkan setiap empat digit dari bilangan biner tersebut dimulai dari digit paling kanan (LSB). Kemudian, setiap kelompok diubah secara terpisah ke dalam bilangan heksadesimal.

Sebagai contoh, 0100111101011110₂ dapat dikelompokkan menjadi: 0100 1111 0101 1110. Sehingga:

0100₂ = 4₁₆, MSB

1111₂ = F₁₆

0101₂ = 5₁₆

1110₂ = E₁₆, LSB

Dengan demikian, bilangan 0100111101011110₂ = 4F5E_16.

2.5.7. Konversi bilangan oktal ke desimal.

Sistem bilangan oktal adalah suatu sistem posisional dimana tiap-tiap digit oktal mempunyai bobot tertentu berdasarkan atas posisinya terhadap titik oktal seperti yang ditunjukkan pada tabel 2.5.

8⁴

8³

8²

8¹

8⁰

8^-1

8^-2

Bobot tiap-tiap digit oktal

Titik oktal

4096

512

0.125

0.015625

Ekivalensinya dalam desimal

Titik desimal

Tabel 2.5. Daftar Bobot tiap digit bilangan oktal dan ekivalensinya dalam desimal

Oleh karena itu bilangan oktal dapat dikonversikan ke bilangan desimal dengan cara menjumlahkan bobot kali nilai-nilai dari masing-masing posisinya.

Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan oktal 372₈menjadi bilangan desimal dapat dilakukan sebagai berikut:

3 7 2 Oktal

3x8²+ 7x8¹+ 2x8⁰

192 + 56 + 2 = 250 Desimal

Sehingga bilangan oktal 372₈ berubah menjadi bilangan desimal 250_10.

2.5.8. Konversi bilangan oktal ke biner.

Konversi dari bilangan oktal ke bilangan biner dilakukan dengan cara mengubah setiap digit pada bilangan oktal secara terpisah menjadi ekivalen biner 3 digit, seperti yang terlihat pada Tabel 2.6.

Digit oktal	0	1	2	3	4	5	6	7
Ekivalen biner 3 bit	000	001	010	011	100	101	110	111

Tabel 2.6. Ekivalen setiap digit bilangan oktal menjadi 3 bit bilangan biner

Sebagai contoh, bilangan oktal 3527₈ dapat diubah menjadi bilangan biner dengan cara sebagai berikut:

3₈ = 011₂, MSB

5₈ = 101₂

2₈ = 010₂

7₈ = 111₂, LSB

Sehingga bilangan oktal 3527₈ sama dengan bilangan biner 011 101 010 111₂.

2.5.9. Konversi bilangan oktal ke heksadesimal.

Konversi dari bilangan oktal ke bilangan heksadesimal dapat dilakukan dengan cara mengubah bilangan oktal ke bilangan biner atau ke bilangan desimal terlebih dahulu. Sebagai contoh, bilangan oktal327₈ dapat diubah menjadi bilangan heksadesimal dengan cara diubah dulu ke bilangan desimal, sebagai berikut:

Oktal 3 2 7

Desimal 3x8² + 2x8¹+ 7x8⁰ = 215

Selanjutnya hasil bilangan desimal diubah ke bilangan heksadesimal,

215/16 = 13, sisa 7₁₀ = 7₁₆, LSB

13/16 = 0, sisa 13₁₀ = D₁₆, MSB

Sehingga, 327₈ = 215 ₁₀ = D7₁₆.

Cara lain diubah dulu ke bilangan biner, sebagai berikut:

Oktal 3 2 7

Biner 011 010 111

Selanjutnya hasil bilangan biner dikelompokkan setiap empat bit dimulai dari digit paling kanan(LSB). Kemudian, setiap kelompok diubah secara terpisah ke dalam bilangan heksadesimal.

Biner 0 1101 0111

Heksadesimal 0 D 7

Sehingga, 327₈ = 11010111₂ = D7₁₆.

2.5.10. Konversi bilangan heksadesimal ke desimal.

Sistem bilangan heksadesimal adalah suatu sistem posisional dimana tiap-tiap digit heksadesimal mempunyai bobot tertentu berdasarkan atas posisinya terhadap titik heksadesimal seperti yang ditunjukkan pada tabel 2.7.

16²

16¹

16⁰

16^-1

16^-2

Bobot tiap-tiap digit heksadesimal

Titik heksadesimal

256

0.0625

0.00390625

Ekivalensinya dalam desimal

Titik desimal

Tabel 2.7. Daftar Bobot tiap digit bilangan heksadesimal dan ekivalensinya dalam desimal

Oleh karena itu bilangan heksadesimal dapat dikonversikan ke bilangan desimal dengan cara menjumlahkan bobot kali nilai-nilai dari masing-masing posisinya.

Sebagai contoh, bilangan heksadesimal 152B₁₆ dapat diubah menjadi bilangan desimal dengan carasebagai berikut:

152B₁₆ = (1 x 16³) + (5 x 16²) + (2 x 16¹) + (11 x 16⁰)

= 1 x 4096 + 5 x 256 + 2 x 16 + 11 x 1

= 4096 + 1280 + 32 + 11

= 5419₁₀

Sehingga, 152B₁₆ = 5419₁₀

2.5.11. Konversi bilangan heksadesimal ke biner.

Konversi dari bilangan heksadesimal ke bilangan biner dapat dilakukan dengan cara mengubah setiap digit pada bilangan heksadesimal secara terpisah menjadi ekivalen biner 4 bit, seperti yang terlihatpada Tabel 2.8.

Digit Heksadesimal	Ekivalen biner 4 bit
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
A	1010
B	1011
C	1100
D	1101
E	1110
F	1111

Tabel 2.8. Ekivalen setiap digit dari bilangan heksadesimal menjadi 4 bit bilangan biner

Sebagai contoh, bilangan heksadesimal 2A5C₁₆ dapat diubah ke bilangan biner sebagai berikut.

2₁₆ = 0010, MSB

A₁₆ = 1010

5₁₆ = 0101

C₁₆ = 1100, LSB

Sehingga, bilangan heksadesimal 2A5C₁₆ dapat diubah menjaid bilngan biner 0010 1010 0101 1100₂.

2.5.12. Konversi bilangan heksadesimal ke oktal.

Konversi dari bilangan heksadesimal ke bilangan oktal dapat dilakukan dengan cara mengubah bilangan heksadesimal ke bilangan biner atau ke bilangan desimal terlebih dahulu.

Sebagai contoh, bilangan heksadesimal 9F2₁₆ dapat diubah menjadi bilangan oktal dengan cara diubah dulu ke bilangan desimal, sebagai berikut:

Heksadesimal 9 F 2

Desimal 9x16² + 15x16¹+ 2x16⁰ =

2304 + 240 + 2 = 2546₁₀

Selanjutnya hasil bilangan desimal diubah ke bilangan oktal,

2546/8 = 318, sisa 2₁₀ = 2₈, LSB

318/8 = 39, sisa 6₁₀ = 6₈,

39/8 = 4, sisa 7₁₀ = 7₈,

4/8 = 0, sisa 4₁₀ = 4₈, MSB

Sehingga, 9F2₁₆ = 2546 ₁₀ = 4762₈.

Cara lain diubah dulu ke bilangan biner, sebagai berikut:

Heksadesimal 9 F 2

Biner 1001 1111 0010

Selanjutnya hasil bilangan biner dikelompokkan setiap tiga bit dimulai dari digit paling kanan (LSB).Kemudian, setiap kelompok diubah secara terpisah ke dalam bilangan heksadesimal.

Biner 100 111 110 010

Heksadesimal 4 7 6 2

Sehingga, 9F2₁₆ = 100111110010₂ = 4762₈.

2.6. Bilangan Biner Pecahan

Dalam sistem bilangan desimal, bilangan pecahan disajikan dengan menggunakan titik desimal. Digit-digit yang berada di sebelah kiri titik desimal mempunyai nilai eksponen yang semakin besar, dan digit-digit yang berada di sebelah kanan titik desimal mempunyai nilai eksponen yang semakin kecil.

Sehingga,

0.1₁₀ = 10^-1 = 1/10

0.10₁₀ = 10^-2‑= 1/100

0.2 = 2 x 0.1 = 2 x 10^-1, dan seterusnya.

Cara yang sama juga bisa digunakan untuk menyajikan bilangan biner pecahan. Sehingga,

0.1₂ = 2^-1 = ½, dan

0.01₂ = 2^-2‑= ½² = ¼

Sebagai contoh,

0.111₂ = 1/2 + 1/4 + 1/8

= 0.5 + 0.25 + 0.125

= 0.875₁₀

101.101₂ = 4 + 0 + 1+ ½ + 0 + 1/8

= 5 + 0.625

= 5.625₁₀

Pengubahan bilangan pecahan dari desimal ke biner dapat dilakukan dengan cara mengalikan bagian pecahan dari bilangan desimal tersebut dengan 2, bagian bulat dari hasil perkalian merupakan pecahan dalam bit biner. Proses perkalian diteruskan pada sisa sebelumnya sampai hasil perkalian sama dengan 1 atau sampai ketelitian yang diinginkan. Bit biner pertama yang diperoleh merupakan MSB dari bilangan biner pecahan. Sebagai contoh, untuk mengubah 0.625₁₀ menjadi bilangan biner dapat dilaksanakan dengan

0.625 x 2 = 1.25, bagian bulat = 1 (MSB), sisa = 0.25

0.25 x 2 = 0.5, bagian bulat = 0, sisa = 0.5

0.5 x 2 = 1.0, bagian bulat = 1 (LSB), tanpa sisa

Sehingga,

0.625₁₀ = 0.101₂

2.7. Penjumlahan , pengurangan biner

2.7.1. Penjumlahan Bilangan Biner
Pertambahan atau penjumlahan pada sistem bilangan binari dilakukan dengan cara yang sama dengan penjumlahan pada sistem bilangan desimal. Dasar pertambahan/penjumlahan pada masing-masing digit bilangan binari adalah sebagai berikut :

Contoh pertambahan bilangan binari misalnya 1111 + 10100 hasilnya adalah 100011 dengan cara sebagai berikut :

2.7.2. Pengurangan Bilangan Biner
Pengurangan pada sistem bilangan binari dilakukan dengan cara yang sama dengan pengurangan pada sistem bilangan desimal. Dasar pengurangan untuk masing-masing digit pada sistem bilangan binari adalah sebagai berikut :

Berbagai contoh pengurangan pada sistem bilangan binari bisa dilihat dibawah ini :
Binari (9)

2.8. KOMPLEMEN (COMPLEMENT)

Pengurangan juga bisa dilakukan dengan komplemen. Komplemen ada du macam yaitu :

§ Komplemen basis minus 1 (radix-minus-one complement)

§ Komplemen basis (radix complement)

Pada sistem bilangan desimal dikenal dua macam komplemen yaitu :

§ Komplemen 9 (9s complement)

§ Komplemen 10 (10s complement)

Sedangkan pada sistem bilangan binari juga ada 2 macam komplemen yaitu :

§ Komplemen 1 (1s complement)

§ Komplemen 2 (2s complement)

Contoh pengurangan dengan komplemen 9 pada sistem bilangan desimal adalah seperti berikut :
Binari (10)

Komplemen 9 dari suatu sistem bilangan desimal dilakukan dengan mengurangkan angka 9 untuk masing-masing digit dalam bilangan pengurangan. Perhatikan, pada komplemen 9, digit 1 paling ujung kiri dipindahkan untuk ditambahkan pada digit yang paling kanan.
Contoh pengurangan dengan komplemen 10 pada sistem bilangan desimal bisa dilihat pada contoh berikut :
Binari (11)

Komplemen 10 dari bilangan desimal adalah hasil komplemen 9 ditambah 1, misalnya komplemen 10 dari nilai 321 adalah 679 (atau dengan cara 1000 – 321 = 679). Pada komplemen 10, hasil digit 1 yang paling kiri dibuang (tidak digunakan).
Cara yang sama dapat dilakukan pada sistem bilangan binari. Contoh pengurangan pada sistem bilangan binari dengan komplemen 1 adalah sebagai berikut :
Binari (12)

Komplemen 1 di sistem bilangan binari dilakukan dengan mengurangkan setiap bit (digit) dari nilai 1, atau dengan mengubah setiap bit 0 menjadi 1 dan bit 1 menjadi 0. Dengan komplemen 1, hasil digit paling kiri dipindahkan untuk ditambahkan pada bit paling kanan.
Sedangkan contoh pengurangan dengan komplemen 2 pada sistem bilangan binari adalah sebagai berikut :
Binari (13)

Komplemen 2 pada sistem bilangan binari adalah hasil dari komplemen 1 ditambah 1, misalnya komplemen 2 dari binari 10110 adalah 01010 (dari komplemen 1 yaitu 01001 ditambah 1). Dengan komplemen 2, hasil digit paling kiri dibuang (tidak digunakan).

2.8.1. Perkalian Bilangan Biner

Perkalian pada sistem bilangan binari dilakukan dengan cara yang sama dengan perkalian pada sistem bilangan desimal. Dasar perkalian untuk masing-masing digit pada sistem bilangan binari adalah sebagai berikut :

Contoh perkalian pada sistem bilangan binari adalah sebagai berikut :
Binari (15)

Perhatikan, ada 2 keadaan dalam perkalian pada sistem bilangan binari yaitu :

§ Jika pengali adalah bilangan 1, maka cukup disalin saja.

§ Jika pengali adalah bilangan 0, maka hasilnya semuanya 0.

2.8.2. Pembagian Bilangan Biner

Pembagian pada sistem bilangan binari juga dilakukan dengan cara yang sama seperti pada pembagian bilangan desimal. Pembagian dengan 0 tidak mempunyai arti, sehingga dasar pembagian pada sistem bilangan binari adalah sebagai berikut :